ÁLGEBRA, GEOMETRIA E TOPOLOGIA – UM

A investigação realizada pelo grupo de Álgebra, Geometria e Topologia desenvolve-se nas áreas de Teoria de Semigrupos, Teoria de Matrizes e Topologia Algébrica.

A Teoria de Semigrupos constitui uma área de investigação da Álgebra Moderna, importante e bem estabelecida, que tem merecido a atenção de inúmeros investigadores das mais variadas partes do mundo de entre os quais destacamos Donald McAlister (University of Northen Illinois), Jean-Eric Pin (Université de Paris VII), John Rhodes (University of Berckeley), Jorge Almeida (Universidade do Porto), Mária Szendrei (József Attila University, Hungary), Mark Lawson (University of York), Mikhail Volkov (Ural State University), Norman Reilly (University of Burnary, Canada), Peter Higgins (University of Essex, U.K.), Robert Sullivan (University of Western Australia), Stuart Margolis (BarIlen University, Israel).

No âmbito da investigação realizada pelo grupo de investigadores em Teoria de Semigrupos, têm-se obtido, em colaboração com investigadores nacionais e estrangeiros, resultados significativos, quer no estudo de propriedades algébricas (estudo de várias classes de semigrupos com a ordem parcial natural e sua caracterização em termos de produtos semidirectos de certas estruturas algébricas e estudo de problemas algébricos e de ordem em semigrupos de transformações), quer no estudo de pseudovariedades de semigrupos, com particular incidência na sua ligação com autómatos e teoria de linguagens (questões de decidibilidade nas teorias de semigrupos finitos e linguagens formais, nomeadamente através da noção de mansidão de uma pseudovariedade, e estudo de operadores sobre pseudovariedades tais como o supremo, o produto semidirecto e o produto de Mal'cev). Estes interesses de investigação são partilhados, a nível nacional, por colegas de quase todas as universidades portuguesas: Centro de Álgebra da Universidade de Lisboa, Centro de Matemática da Universidade do Porto, Centro de Matemática da Universidade de Coimbra e Departamento de Matemática da Universidade de Trás-os-Montes e Alto Douro.

Reflexo da relevância da investigação nas áreas referidas são os projectos de investigação, a nível nacional e internacional, financiados pelos programas operacionais PESSOA, POCTI, PRAXIS XXI, INTAS, ESPRIT, nos quais alguns dos investigadores proponentes têm participado.

Ainda consequência do interesse que esta área de investigação levanta na comunidade científica são as três conferências internacionais e o encontro nacional que se realizaram, nos últimos 10 anos, na Universidade do Minho: First Meeting of the project AGC (Álgebra, Geometria e Combinatória) (1997), International Conference on Semigroups (1999), International Meeting on Semigroup Theory and Related Topics (2003) e Encontro de Algebristas Portugueses (2005).

Com algumas ligações ao estudos de relações de ordem em semigrupos, encontramos o estudo da teoria algébrica das inversas generalizadas. Tem vindo a ser ser efectuado um esforço de implementação de parcerias com cientistas internacionais de relevo; se a nível nacional existe investigação efectuada nesta área apenas no Instituto de Telecomunicações, a nível internacional multiplicam-se os exemplos. Destacamos, entre muitos outros centros de investigação internacionais, Indian Statistical Institute (Índia), North Carolina State University (EUA), Institute of Physics, Poznan (Polónia), Universidade de Fudan (Xangai, R.P. China), Univeridade de Melbourne (Australia), Universidad Politécnica de Valencia (Espanha).

A resolução de problemas em Ciência, em Engenharia e nas Ciências Sociais, modelizados através de técnicas matriciais, passa frequentemente pela determinação de algumas entradas de uma dada matriz por forma a que a matriz obtida tenha certas propriedades previamente prescritas. A chamada Teoria de Completamento engloba estes problemas e tem a sua génese em meados do século XX. Nos anos mais recentes, uma metodologia combinatória tem possibilitado uma melhor e mais fácil compreensão da estrutura de uma matriz e dos chamados problemas de completamento de matrizes. No contexto nacional, podemos encontrar trabalho desenvolvido nesta área também por colegas do Centro de Estruturas Lineares e Combinatórias da Universidade de Lisboa e do Centro de Matemática da Universidade de Coimbra. Já a nível internacional, de destacar os estudos apresentados por investigadores de The College of William and Mary (EUA), University of Regina (Canadá) e Universidad Politécnica de Valencia (Espanha).

O grupo de Topologia Algébrica desenvolve a sua investigação nas áreas de Homotopia Racional, Teoria Homotópica de Variedades e Aplicações de Topologia. As duas primeiras são áreas clássicas, bem estabelecidas em diversos centros de investigação a nível mundial, no entanto, a nível nacional, o CMAT é o único centro nacional a efectuar investigação em Homotopia Racional. A área de Aplicações de Topologia é uma área emergente, promovida por centros de investigação em Paris (França), Aalborg (Dinamarca), Lausanne (Suiça), Cleveland e Stanford (EUA).

Projectos:

1. "ASA (Autómatos, Semigrupos e Aplicações)", PTDC/MAT/65481/2006, terá início em 1 de Abril de 2007 e estender-se-á por 3 anos.
2. "Automata, profinite semigroups and symbolic dynamics", Egide/Grices 11113YM, financiado pelo Programa PESSOA - Acções integradas de Cooperação Científica e Técnica Luso-Francesas, teve início em 1 de Janeiro de 2006 e terá uma duração de 2 anos.
3. "AutoMathA (Automata: from Mathematics to Applications)", da Fundação Europeia para a Ciência, financiado por 16 organizações de 14 países (incluindo a FCT e o GRICES de Portugal), a funcionar desde 1 de Julho de 2005 e prolonga-se por 5 anos.
4. “Categoria de Lusternik-Schnirelmann”, GRICES/CNRS, 2003-2004.
5. "PAS (Problemas Algorítmicos em Teoria de Semigrupos Finitos)", POCTI/32817/ MAT/2000, de 2000 a 2004.
6. "INTAS (Combinatorial and geometric theory of groups and semigroups and its application to computer science)", INTAS 99-1224, de 2000 a 2003.

 
ÁLGEBRA, GEOMETRIA E TOPOLOGIA– UA

O grupo de Álgebra e Geometria tem como áreas de investigação preferencial, mergulhos celulares de grafos e hipergrafos em superfícies (mapas e hipermapas), grupos de automorfismos de superfícies de Riemann, estruturas locais e globais de aplicações em variedades riemannianas localmente isométricas com ênfase em dobragens isométricas de superfícies e classificação dos respectivos conjuntos de singularidades (f - pavimentações), desigualdades matriciais e sua relevância na física, topologia (teoria da convergência, espaços de funções, completude, descrição uniforme de várias categorias de interesse para esta área) semigrupos (estudo dos subsemigrupos do monóide bicíclico e generalizações, e de outros subsemigrupos do monóide de transformações total sobre os números inteiros); teoria das categorias (estudo de exemplos ligados à teoria de Galois categorial, nomeadamente classes especiais de morfismos, extensões centrais e sistemas de factorização); teoria dos números (estudo de alguns tópicos clássicos tais como números perfeitos e multiperfeitos, problema de Collatz, problema diofantino de Frobenius).

Convém referir que a investigação relativa a mergulhos celulares de grafos e hipergrafos em superfícies e a dobragens isométricas de superfícies não tem eco em mais nenhum outro ponto do País, tendo já formado e estando a formar investigadores de outras universidades portuguesas. Os investigadores que trabalham em álgebra linear, teoria das categorias e lógica algébrica abstracta mantêm uma colaboração estreita com investigadores das Universidades de Coimbra e do Instituto Superior Técnico.

A nível internacional, os membros do grupo de investigação de Álgebra e Geometria mantêm colaboração com investigadores de diversos centros, nomeadamente com as Universidades de Southampton (U.K.), Northen Arizona (USA), UNED (Espanha), Linköping (Suécia), Tecnológica e Instituto de Matemática e Ciências da Computação (Eslováquia), centros onde a investigação nas áreas de mergulhos celulares, superfícies de Riemann e dobragens isométricas é de excelência. Na área de teoria das categorias o grupo mantém uma colaboração com investigadores das Universidades de Cape Town (África do Sul), de York (Toronto-Canada) e de Antuérpia (Bélgica) .

Projectos:

1. “Geometrix”, projecto financiado pela Universidade de Aveiro, desde Setembro de 2000.
2. “Grupos, Álgebras e Geometria”, Praxis/PCEX/P/MAT/114/96, de 1996 a 1998.
3. “Física-Matemática”, JNICT, Programa PRAXIS XXI, de 1991 a 1997.
4. “Geometria e Aplicações”, Projecto PBIC/C/CEN/1060/92, de 1992 a 1994.
5. “Sistemas e Robótica”, Projecto no âmbito do Programa Ciência da Universidade de Coimbra, de 1991 a 1993.