Departamento de Matemática e Aplicações

ANÁLISE E APLICAÇÕES – UM

A investigação nesta área divide-se em três subáreas: Análise Complexa, Equações de Derivadas Parciais, e Física-Matemática.

A área de Equações de Derivadas Parciais é uma área de investigação fortemente representada em Portugal, havendo investigadores em praticamente todas as universidades portuguesas. É uma área de interface com as outras ciências, pois modela problemas oriundos da Biologia, da Economia, da Física e das Engenharias. Utiliza muitas ferramentas teóricas, como por exemplo a Análise Funcional e muitas mais aplicadas, como a Análise Numérica, é uma verdadeira área de interface, não só dentro da Matemática como com outras áreas do conhecimento científico.

A subárea dos Problemas de Fronteira Livre tem alguma representatividade em Portugal, contando com investigadores na Universidade de Coimbra, nas três universidades públicas de Lisboa e na Universidade do Minho. No que respeita à sua implantação internacional, é uma área forte e dinâmica, ocorrendo os congressos “Free Boundary Problems: theory and applications” com uma periodicidade bienal ou trienal desde 1981. Estes congressos, que duma maneira geral, acontecem na Europa, já tiveram lugar nos EUA e no Japão. O último decorreu em 2005, na Universidade de Coimbra e contou com a participação mais de 160 investigadores de cerca de 20 países, que apresentaram 120 palestras em apenas 5 dias, estando na Comissão Organizadora da conferência um dos membros deste projecto. Este congresso teve a honra de acolher a EMS Lecture de 2005, pela conceituada Profª. Nina Uraltseva, que apresentou uma sucessão de palestras sob o título “Regularity of free boundaries in parabolic obstacle type problem”.

Nos anos 90 houve um projecto, com a duração de 5 anos, da European Science Foundation (ESF) intitulado “Mathematical Treatment of Free Boundary Problems” cujo responsável era um investigador português e que financiou o “VI Workshop of Numerical Analysis of Free Boundary Problems”, que decorreu na Universidade do Minho. Está actualmente em curso um outro projecto intitulado “ESF Scientific Programme on Global and Geometrical Aspects of Nonlinear Partial Differential Equations”, que financiou duma forma muito forte o congresso de fronteiras livres que ocorreu em Coimbra em 2005.

A comunidade científica internacional de Fronteiras Livres conta ainda com o apoio do FBP/News, uma Newsletter/Forum, com o endereço http://fbpnews.org e uma revista da especialidade, Interfaces and Free Boundaries, classificada, relativamente aos índices de impacto na ISI Web of Knowlege em 2005, em 16º lugar entre as revistas de Matemática.

A investigação feita em Análise Complexa Computacional tem fortes ligações com o trabalho desenvolvido na Universidade de Aveiro, por investigadores da área da Análise Complexa e Hipercomplexa e na Universidade de Weimar. Em particular, existem (e/ou existiram, num passado recente) projectos que incluem investigadores das 3 instituições. Esta colaboração inclui investigação na área das transformações numéricas no plano e no espaço; adaptação de conceitos da aproximação complexa em geral e correspondente desenvolvimento de algoritmos numéricos. O enquadramento da investigação, a nível internacional, na área da Análise Hipercomplexa, tanto do ponto de vista mais teórico, como do ponto de vista das aplicações foi já anteriormente referido.

Na Física-Matemática, estuda-se Teoria Cinética dos Gases e Problemas Matemáticos da Relatividade e Gravitação.

A Teoria Cinética dos Gases constitui um tema de investigação estudado em vários centros e universidades portuguesas, nomeadamente na Universidade de Coimbra, no IST e na Universidade Nova de Lisboa. Parte da investigação desenvolvida no Centro de Matemática da Universidade do Minho nos últimos anos resultou de uma colaboração com um investigador da Universidade Nova de Lisboa. A Teoria Cinética dos Gases e, em particular, os modelos da equação de Boltzmann (EB) para gases com reacções químicas, tem interessado vários investigadores de diversas instituições que têm publicado os seus trabalhos em revistas científicas da especialidade. Alguns dos temas directamente relacionados com a investigação desenvolvida na UM prendem-se com a existência e unicidade de solução de sistemas hiperbólicos de EDP's, existência e comportamento assimptótico de soluções de onda de choque, modelos da EB de tipo BGK, estudo de soluções de modelos da EB fora do equilíbrio.

Nos Problemas Matemáticos da Relatividade e Gravitação, a Universidade do Minho (DMAT e DMCT) reúne, neste momento, três docentes doutorados, havendo apenas dois outros docentes em Portugal a trabalhar isoladamente na FCUL e IST, Lisboa. Existem vários centros de investigação europeus com pessoas activas na área de Problemas Matemáticos da Relatividade e Gravitação, alguns dos quais integrando líderes mundiais, como por exemplo o Instituto Albert Einstein, em Berlin, e a Universidade de Oxford, em Inglaterra. O centro europeu geograficamente mais próximo de Aveiro/Minho com investigadores nesta área situa-se em Salamanca, Espanha. Investigadores da UM mantêm intercâmbio e colaborações científicas com estes centros europeus. Existem ainda outras colaborações com especialistas importantes da área, nomeadamente da Universidade de Linköping, Suécia; Universidade de Southampton e Universidade de Londres, Inglaterra e Universidade das Ilhas Baleares, Espanha.

Projectos:

“Aproximação construtiva de campos de vectores harmónicos e monogénicos em R3”, 2006/2007- Acção Integrada Luso-Alemã A-13/06, financiado pelo CRUP.
“Stability of the Einstein-Straus model”, 2004-2006, CRUP/ministerio de ciência y Tecnologia (Espanha), bolsa E-113/04.
"Application of Differential Operators to obtaining exact solutions of Einstein´s equations with cosmological constant", 2005- Swedish Research Council
"Non-linear evolution and spacetime singularities", 2003-2005, Fundação Calouste Gulbenkian, bolsa 21-58348-B e FCT bolsa SFRH/BPD/12137/2003.
"EDP's não lineares: análise e aplicações em Biologia", projecto POCTI/MAT/57546/2004, sediado em Coimbra, envolvendo investigadores de Coimbra, Lisboa e Minho.
"Second order perturbations in FLRW models", 2002-2003, CRUP/British Council (U.K.) bolsa B-13/03.
“Métodos de Geometria e Análise em Problemas Variacionais e suas Aplicações”, Acção Integrada Luso-Alemã, 1996.
“Equações com derivadas parciais –Métodos da teoria das funções em dimensões superiores”, 2000/01, financiado pelo Instituto de Cooperação Científica e Tecnológica Internacional e pelo Deutscher Akademischer Austauschdienst (Projecto ICCTI n.423/DAAD).
“Análise Local e Global das Equações Diferencias: fundamentos e aplicações”, projecto PRAXIS/2/2.1/MAT/125/94, sediado no Centro de Matemática e Aplicações Fundamentais, em Lisboa.

ANÁLISE E APLICAÇÕES – UA

Grupo de Análise Funcional e Aplicações

Parte significativa da investigação neste grupo realiza-se em Teoria de Operadores e engloba tópicos que são também objecto de investigação do recém criado "Centro de Análise Funcional e Aplicações" do Instituto Superior Técnico, bem como de investigadores do Departamento de Matemática da Universidade do Algarve; existe também um elemento no Centro de Matemática da Universidade do Minho a trabalhar directamente em alguns destes tópicos.

Outra linha importante de pesquisa é na análise não suave e soluções generalizadas para equações de Hamilton-Jacobi, inclusões diferenciais, teoria do controlo e problemas variacionais. Nos últimos anos, a actividade na área das inclusões diferenciais foi parcialmente financiada pelo projecto FCT-FEDER POCI/MAT/55524/2004. Mantém projectos de colaboração com investigadores da Universidade de Lisboa e da Universidade de Évora. Na Universidade de Aveiro e em colaboração com Nikolaos Papageorgiou (que se encontra actualmente nesta universidade por um período de 6 meses, como cientista convidado) está-se a realizar sólida investigação relativa a utilização dos métodos topológicos e variacionais no estudo de existência e multiplicidade das soluções para problemas limite não lineares que envolvem termos multívocos.

Uma terceira linha de investigação deste grupo é em Teoria dos Espaços de Funções, área que, em Portugal, se encontra essencialmente apenas representada nas Universidades de Aveiro, Algarve (em especial no tópico “Espaços com expoente variável”, investigação integrada no CEMAT do Instituto Superior Técnico) e Coimbra (dois jovens investigadores do respectivo Centro de Matemática), havendo alguma cooperação entre as pessoas envolvidas. Quanto aos espaços de funções em si, são ingredientes básicos no estudo de equações diferenciais e operadores vários que se faz em vários centros do país.

São em número muito grande os investigadores internacionais a realizarem trabalho em Teoria de Operadores. Referimos aqui somente algumas universidades a que estes pertencem: Technische Universität Chemnitz, Alemanha; University of California at Santa Cruz, E.U.A.; University of Reading, Reino Unido; Georgian Technical University & A. Razmadze Mathematical Institute, Georgia; University of Athens, Grécia; Vrije Universiteit Amsterdam, Holanda.

Na parte da investigação em Inclusões Diferenciais e Problemas Variacionais, há colaborações internacionais em curso com os Professores Alberto Bressan da Penn State University (USA), Francesco De Blasi da Universidade de Roma (Itália), Giulio Pianigiani da Universidade de Florença (Itália), Arrigo Cellina da Universidade de Milão "Biccoca" (Itália), Mitsuharu Otani da Waseda University de Tóquio (Japão), Sergiu Aizicovici da Ohio University de Athens, (E.U.A.) e Nikolaos Papageorgiou da Universidade de Atenas (Grécia). Na área da análise não suave e aplicações a calculo das variações e controlo óptimo há colaborações já realizadas e/ou em curso com os Professores Francis Clarke da Universidade de Lyon (França) e Martino Bardi da Universidade de Padova (Itália).

No que ao estudo de Espaços de Funções, a nível internacional, diz respeito, indicam-se apenas alguns centros onde ele se desenvolve: Academia de Ciências da República Checa (B. Opic, A. Gogatishvili); Universidade Friedrich-Schiller, em Jena, na Alemanha (grupo de H. Triebel); a escola russa (associada a nomes como O. Besov, V. Mazya, V. Burenkov, V. Kolyada, G. Kalyabin, M. Goldman, Y. Netrusov, para citar alguns); Grupo de investigação "Variable Exponent Lebesgue and Sobolev Spaces" da Universidade de Helsínquia, Finlândia; A. Razmadze Mathematical Institute de Tbilisi, Georgia; Universidade de Freiburg, Alemanha.

Projectos:

“Variable Exponent Analysis”, com início em Janeiro de 2007 e duração de 24 meses, envolve vários países – Portugal (Universidades do Algarve e Aveiro), Georgia (A. Razmadze Math. Institute, Tbilisi), Azerbeijão (Institute of Math. and Mechanics, National Academy of Sciences) e Finlândia (Universidades de Oulu, Joensu e Helsínquia), INTAS.
“Sharp embeddings of Besov and Bessel potential type spaces”, teve início em 2006 e estender-se-á até ao fim de 2007, envolve também a Universidade de Coimbra, GRICES/ASCR.
Projecto FCT POCI/MAT/55524/2004: “Inclusões diferenciais e Problemas variacionais”, envolve também a Universidade de Évora, teve início em Julho de 2005 e estender-se-á por 3 anos.
“Subatomic decompositions in function spaces, wavelet methods and applications”, 2004-2005, envolvendo também a Universidade de Coimbra, GRICES/DAAD;
“Integral Operators with Applications to Diffraction Theory”, iniciado e terminado em 2003, GRICES/British Council;

Grupo de Análise Complexa e Hipercomplexa

Nos últimos 30 a 40 anos tem-se manifestado uma crescente utilização de álgebras não comutativas na modelação e resolução de problemas em dimensões 3 ou superiores que ocorrem em diversas áreas científicas, nomeadamente na Física-Matemática e na Engenharia. Nesta perspectiva, a Análise de Clifford tem-se destacado como uma generalização da Análise Complexa e da Análise Harmónica envolvendo álgebras de Clifford como ferramenta essencial. O trabalho desenvolvido nesta área em Portugal concentra-se fundamentalmente no grupo de Análise Complexa e Hipercomplexa e, pontualmente, em colaboradores exteriores ligados ao grupo. Neste âmbito, desde meados dos anos 90 têm-se realizado anualmente workshops integrados em cursos intensivos onde participam investigadores e alunos de pós-graduação portugueses e estrangeiros. No contexto de um programa doutoral em Matemática, a oferta de uma especialização nesta área é única no país.

No panorama internacional, a nossa investigação na área de Análise de Clifford encontra-se bem colocada, com ligação a vários centros em vários países Europeus (Bélgica, França, Alemanha, República Checa, Finlândia, Áustria, Suíça) bem como noutros continentes (e.g. E.U.A., México, República Popular da China). Na sua componente mais teórica destacam-se as cooperações com as universidades de Ghent, Leuven, Caen, Weimar, Freiberg, Prag, Tampere, Joensuu, Arkansas (Fayetteville), Mexico, Queretaro, Macau e Hefei. Na componente de processamento de sinais esféricos e representação em frames, deve referir-se a estreita ligação com os trabalhos desenvolvidos por HASSIP (European Network: Harmonic Analysis and Statistics for Signal and Image Processing, NuHAG (Numerical Harmonic Analysis Group, Vienna), EUCETIFA (European Center of Time and Frequency, Vienna), Université Catholique de Louvain, École Polytechnique Fédérale de Lausanne, ZeTeM (Zentrum für Technomathematik, Bremen), ZIB (Zuse-Institut für Informationstechnik, Berlin), Universität Kaiserslautern e Technische Universität Chemnitz.

Projectos industriais:

CRAFT-1999-713 09, MEPROS – “A new and Innovative Meteorological Profiling System based on Wavelet Technology for Radar and Acoustic Devices” (nomeado para o Inovationspreis der Deutschen Industrie - prémio de inovação na indústria alemã). Companhias industriais envolvidas: SHE Informationstechnologie AG, Alemanha, Bristol Industrial & Research Associates Ldt, Reino Unido, Scintec AG, Alemanha, Eurelettronica Icas Srl, Itália, Espace Eolien Developpement, França, METEK Gmbh, Alemanha. Duração: 11/2002 - 10/2004. Entidade financiadora: 6º Quadro de Financiamento Europeu; financiamento: 1,1M euros.

Outros projectos:

“NeCCA: Network on Constructive Complex Approximation” - (INTAS 03-51-6637) desde 2004.
“Rational approximation of analytic functions and its applications to the spectral theory of difference operators, nonlinear dynamical systems, special functions and number theory” (INTAS-2000-272) duração: 2000-2003;
“Complex and Clifford Analysis for Treating Systems of Partial Differential Equations” (INTAS - 93 -322) duração: 1994-1997;
“Onduletas em Espaços de Banach”; duração: 2002-2003; membros participantes: Univ. de Aveiro, Univ. do Minho, Universität Bremen; entidade financiadora: GRICES, n.º 423/DAAD;
“Equações com Derivadas Parciais – métodos da Teoria de Funções em Dimensões Superiores”; duração: 1999-2001; membros participantes: Univ. de Aveiro, Univ. do Minho, RWTH Aachen, TU Bergakademie Freiberg, Bauhaus-Universität Weimar; entidade financiadora: ICCTI, nº 423/DAAD;