Plano de estudos - Área de especialização em Matemática

* S1 - 1º Semestre
S2 - 2º Semestre
A - Anual

Observações:
- as Opções 1 a 4 devem ser escolhidas em bloco, de forma a constituírem um perfil de formação em Matemática Aplicada ou em Matemática Pura;
- a unidade curricular Opção 5 poderá ser escolhida dentro da oferta na área científica de Matemática;
- a unidade curricular Opção 6 poderá ser escolhida dentro da oferta nas áreas científicas de Matemática ou Estatística;
- a unidade curricular Opção 7 poderá ser escolhida dentro da oferta em qualquer área científica (incluindo oferta noutros cursos de 2.º ciclo da UMinho);
- a unidade curricular Opção 8 poderá ser escolhida dentro da oferta nas áreas científicas de Matemática, Estatística, Ciências da Computação ou Informática;

Unidades Curriculares Obrigatórias

Tópicos de Análise Funcional
Espaços vetoriais normados. Aplicações lineares contínuas. Uma breve introdução à teoria da medida. Espaços Lp e diferentes tipos de convergência de sucessões nestes espaços. Espaços duais topológicos e reflexividade. Topologias fracas. Espaços de Hilbert, relações de ortogonalidade, Teorema da Projeção e Teorema da Representação de Riez. Teorema de Arzelà-Ascoli.

Temas de Álgebra
O programa é composto por dois dos seguintes três módulos. I) Grupos Finitos: Ações, órbitas e estabilizadores; Grupos abelianos finitos; Teoremas de Sylow; Estrutura de grupos finitos. II) Teoria de matrizes: Polinómios anuladores, polinómio minimal, polinómio invariante, espaços próprios generalizados, forma canónica de Jordan; Decomposição em valores singulares; Produto de Kronecker, equações matriciais lineares; Outras formas canónicas. III) Teoria de Números Algorítmica: Logaritmo discreto e aplicações; Fatorização de inteiros e aplicações; A aplicação das curvas elípticas na criptografia.

Seminário de Matemática
Esta UC consiste numa série de seminários, apresentados por membros do corpo docente do DMAT, sobre tópicos matemáticos normalmente não lecionados num currículo habitual. Nas primeiras semanas do curso serão apresentadas técnicas específicas de escrita e apresentação de conteúdos matemáticos.

Projeto Integrado em Matemática e Computação
A natureza do trabalho a realizar dependerá da área de estudo e interesses do aluno. Por exemplo, os alunos poderão: fazer um estudo aprofundado de um trabalho de pesquisa, complementando-o com explicações detalhadas, provas e exemplos; realizar a análise e o tratamento de um problema com origem numa área interdisciplinar; investigar e resolver um problema real proposto pela indústria ou por setores da área dos serviços.

Dissertação
Os estudantes devem realizar trabalho de investigação com vista à apresentação de uma dissertação original na área da matemática pura, da matemática aplicada ou da computação, sob orientação de um ou mais professores especialistas no tema em questão. Este trabalho pode decorrer em meio académico, no âmbito das atividades de investigação dos professores/investigadores da ECUM, ou em meio empresarial, abordando um problema e resolvendo-o através da implementação de soluções na área científica do ciclo de estudos.

Unidades Curriculares Opcionais

Opções 1 a 4, constituindo um perfil de formação em Matemática (a título exemplificativo)

Perfil Matemática Aplicada

Introdução à Otimização
Problemas de otimização. Problemas de programação matemática. Problemas de cálculo de variações. Problemas de Lagrange. Problemas de controlo ótimo. Métodos numéricos de otimização.

 

Matemática Computacional

Estudo de software de carácter simbólico-algébrico, numérico e gráfico (por exemplo, Mathematica e Matlab ou Python). Interpolação polinomial, interpolação polinomial segmentada, splines. Integração numérica. Métodos diretos e métodos iterativos para a resolução de sistemas de equações lineares. Métodos numéricos para equações e sistemas de equações não lineares. Métodos numéricos para equações diferenciais ordinárias: problemas de valores iniciais e

problemas de valores de fronteira.

 

Métodos Numéricos para Equações de Derivadas Parciais
Modelos básicos: equações elíticas, parabólicas e hiperbólicas; classificação e comportamento das soluções. Fórmulas de diferenças finitas para aproximar derivadas. Conceitos fundamentais dos métodos de diferenças finitas: consistência, estabilidade, convergência; teorema de equivalência de Lax; análise de estabilidade através de matrizes e através de séries de Fourier. Equações parabólicas: métodos de diferenças finitas explícitos e implícitos; consistência, estabilidade, convergência; condições de fronteira envolvendo derivadas. Equações hiperbólicas - equações hiperbólicas unidimensionais: características, condição de Courant-Friedrichs-Lewy, esquemas explícitos e esquemas implícitos, dispersão e dissipação; estudo análogo para equações bidimensionais. Equações elíticas: condições de Dirichlet e de Neumann para a equação de Poisson; discretização por diferenças finitas; regiões irregulares, coordenadas curvilíneas; redes não retangulares; análise de convergência.

 

Sistemas Dinâmicos
Sistemas dinâmicos de tempo contínuo, fluxos de campos vectoriais. Teoremas de existência e unicidade para equações diferenciais ordinárias. Dependência das condições iniciais. Sistemas dinâmicos em dimensão baixa. Retrato de fase. Classificação dos sistemas lineares: focos, poços e selas. Estabilidade dos equilíbrios. Funções de Lyapunov. Sistemas Hamiltonianos e sistemas gradientes. Linearização. Hiperbolicidade e teorema de Hartman-Grobman. Ciclos limite. Teorema de Poincaré-Bendixon. Estabilidade das órbitas periódicas. Aplicações do Teorema de Poincaré-Bendixon. Bifurcações. Equação de Van der Pol. Bifurcação de Hopf. Aplicações de sistemas dinâmicos não-lineares na Física, Biologia e Tecnologia (ou nas Ciências e na Tecnologia).

 

 

Perfil Matemática Pura

Geometria das Variedades
Noção de variedade diferenciável. Fibrados tangente e cotangente. Fibrados tensoriais. Campos de vetores e formas diferenciais. Integração em variedades. Cohomologia de De Rham. Noção de grau e teorema de Poincáre-Hopf.

 

Módulos e Anéis
Módulos sobre anéis. Submódulos. Homomorfismos de módulos e Teoremas de isomorfismos. Produto direto, soma direta externa e soma direta interna de módulos. Módulos projetivos e injetivos. Anéis comutativos e módulos; Anéis Noetherianos e anéis Artinianos. Módulos e anéis simples.

 

Sistemas Dinâmicos
(ver o Perfil Matemática Aplicada)

 

Topologia
Espaços métricos. Espaços topológicos. Axiomas de separação. Compacidade. Conexidade. Homotopia. Grupo fundamental.

 

Opções 5 a 8 nas áreas da Matemática (M), Estatística (E), Ciências da Computação (CC) ou Informática (I)  (a título exemplificativo)

Álgebra Universal (M)

Algoritmos Numéricos e Computação Paralela (M)

Aplicações em Probabilidade e Modelação Estocástica (E)

Introdução à Topologia Algébrica (M)

Complementos de Álgebra Linear (M)

Complementos de Análise Funcional (M)

Computabilidade (CC)

Equações de Derivadas Parciais (M)

Estatística Bayesiana e Aplicações (E)

Geometria Computacional (M)

Geometria Riemanniana (M)

História das Matemáticas em Portugal (M)

Matemática e Mecânica Computacional (M)

Métricas em Machine Learning (I)

Semigrupos (M)

Teoria Ergódica  (M)

Teoria de Categorias (M)

Teoria de Códigos (CC)

Tópicos de Lógica (M)

Tópicos Matemáticos da Biologia e da Robótica (M)

Tópicos de Sistemas Complexos (M)

Uma Introdução Matemática à Mecânica dos Meios Contínuos (M)